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中国古代天文历法是我国传统文化的精华，也是其中最艰深难懂的部分。明末清初西方近代科学传入中国的时候，以天文历法为代表的我国固有的传统科学被称为“国学”，与“西学”形成对峙。历史上第一次中、西学之争，就是康熙年间的“历法之争”。在那个时代，人们心目中的“国学”就是我国古代的传统科学。中、西学之争最终导向了中西方体制之争。洋务运动的大将张之洞提出“中学为体，西学为用”的主张之后，“国学”才由传统科学演变为涵盖文史哲的传统学问，“国学”中最深奥的天算历法等从此被束之高阁；以至于在时下“国学热”的大潮中，人们对文史哲趋之若鹜，天文历算则鲜有人问津。

前言

楚用亥正历法的新证据

楚历“大正”的观象授时

云梦秦简日夕表与楚历问题

论秦简“日夕分”为地平方位数据

随州孔家坡汉简《历日》及其年代

《尚书·考灵曜》中的四仲中星及相关问题

《易纬·通卦验》中的晷影数据

《大衍历》日躔表的数学结构及其内插法

边冈“相减相乘”法源于一行考

宦海沉浮著新历：南朝天文学家何承天

隐身佛门的科学巨匠：唐代著名天文学家僧一行

神秘术士  历算高人：晚唐天文学家边冈

千古道士一畴人：宋末元初天文学家赵友钦

测天制历兴水利的科学巨人：元代天文学家、工程专家郭守敬

堪称大师的遗民科学家：清初天文学家王锡阐

▲武家璧 

考古学硕士，科学史博士，北京师范大学历史学院考古教研室教授。主要从事天文考古和科学史研究以及商周秦汉考古教学科研工作。

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前言

中国古代天文历法博大精深，有关学者一辈子皓首穷经，往往仅能究明一两部历法，并且方才登堂入室，却已届暮年，其高难程度令无数饱学之士望而却步，故通晓古代天文历法的学者历来凤毛麟角。近代受到西学的冲击，传统的天文历算几乎成了无用之学。民国时利用现代天文学知识对中国古代天文历法进行研究的，也仅朱文鑫、高鲁、高平子、陈遵妫等数人而已。

新中国成立后中国科学院成立了自然科学史研究所，这才有了一批专门从事古代天文历法研究的职业学者。彼时研究的重点主要集中于传统典籍中的天文历法文献，“中国天文学史大系”丛书和《中国科学技术史·天文学卷》等专著，代表了这一阶段的重要成果。

新中国成立以后随着经济建设和文物考古工作的发展以及对外文化交流工作的展开，一些重要的天文遗迹、天文文物、出土天文历法文献被发现和证认，如汉魏洛阳灵台遗址、长沙马王堆汉墓帛书彗星图及《五星占》、仪征汉墓铜圭表、阜阳西汉汝阴侯夏侯灶墓二十八宿圆盘、敦煌星图、杭州吴越墓星图、临沂银雀山汉墓元光元年历谱等。1980年中国社会科学院考古研究所针对这些重要发现出版了《中国古代天文文物图集》。已有历史学、考古学、天文学史等方面的专家学者对这些天文遗迹、遗物作了深入研究，1989年文物出版社出版其姊妹篇《中国古代天文文物论集》，对新中国成立以来中国天文文物研究的成绩作出总结。

笔者自20世纪90年代末参与导师李伯谦先生主持的“夏商周断代工程”新砦遗址发掘项目以后，旋即转入中国科学院自然科学史研究所师从著名天文学史家、古历法专家陈美东先生学习古代天文历法，从此开始了对古历若干问题的探索研究。本书包括笔者对古历探索的部分论文，主要集中在战国楚、秦至西汉早期以及唐代历法的研究方面，概述如下：

楚国究竟采用何种历法，是一个长期没有解决的疑难问题。长沙楚墓帛书以“建寅之月”（农历一月）为正月，与《夏小正》的建正（寅正）相同；江陵楚墓竹简等以“建亥之月”（农历十月）为岁首，与秦历的建正（亥正）相同。这个矛盾的现象如何解释？我们从《夏小正》经传中找到了解决问题的钥匙。《夏小正》经文记载：“四月初昏南门正……十月初昏南门见。”传文解释说：“南门者，星也。岁再见一正，盖《大正》所取法也。”意思是说“南门星”是《大正》历所取法的标准，它在一岁之中“再见”即晨见于东、昏见于西；“一正”即初昏时位于正南方，《大正》就是根据这三个标准节点制订的历法。文献记载楚国历法属于《颛顼历》系统，由此我们知道楚墓帛书采用的历法是《颛顼小正》，而楚墓竹简采用的历法是《颛顼大正》。南门星就是《颛顼历》用来观象授时的标准星。

秦国采用“岁首建亥”（以十月为岁首）的历法，这可能与秦相吕不韦的历法改革有关。吕不韦在帮助秦始皇的父亲秦异人夺取王位和巩固政权的宫廷斗争中，为了争取楚国外戚的支持，曾经采取一系列亲楚的政策，改行楚国历法是其策略之一。史载“《颛顼历》上元甲寅岁……其后吕不韦得之，以为秦法，更考中星，断取近距，以乙卯岁正月己巳合朔立春为上元。”（《新唐书·历志》）《续汉书·律历志》载“甲寅历于孔子时效；己巳颛顼，秦所施用；汉兴草创，因而不易。”汉初“袭秦正朔”，把《颛顼历》一直沿用到汉武帝太初改历以前。出土秦简《日书》载有一份《日夕分表》，把一天分为“十六分”，春分和秋分时节“日八分”“夕八分”，夏至“日十一分”“夕五分”，冬至“日五分”“夕十一分”，反映了一年内昼夜长短随季节的变化。经过数值分析，我们认为这份《日夕分表》并不是昼夜漏刻数值，而是地平圈上昼弧和夜弧长度的变化数据，它们是通过测定日出和日落方位而得到的，故可称之为“地平数据”，因而与昼夜漏刻反映的“时角数据”具有本质的不同。“地平数据”应该是“盖天说”宇宙理论的产物；“时角数据”则是“浑天说”宇宙理论的产物，前者盛行于西汉早期以前，后者则在汉武帝《太初历》以后才开始盛行。我们通过对出土文献的研究，揭示了中国古代宇宙理论“盖天说”与“浑天说”的本质区别：前者采用地平坐标系，后者采用时角坐标系。

应用“节气断代法”在简牍研究上获得重要成功，例如《随州孔家坡汉墓简牍》有一份题名为《历日》的竹简历谱，不仅记载了一年内十二个月的朔日干支，还注明了冬至、立春、夏至等节气所在的干支，有学者曾经依据朔日干支推断其年代为淮南王二年（公元前163年），我们用《颛顼历》推算其节气干支，指出其年代应是汉景帝后元二年（公元前142年），这一结论为发掘报告所采用，并得到学术界公认。为此我们特地设计采用了“节气干支序数散点图”，用于迅速查找并直接显示符合节气干支的历史年代，作为历法断代的新工具。

传世文献典籍中关于早期历法的记载非常稀少，有一类被忽视了的文献汉代纬书中有较多的保留，值得我们重视。例如《尚书·考灵曜》的中星、日在位置及推步方法等，不见于《史记》《汉书》《后汉书》的天文、律历等书志，可能与失传的先秦“古六历”有关。《易纬·通卦验》中的晷影数据，与两汉时期其他的晷影数据都不符合，经验算与《周髀算经》《太初历》等同样采用等差数列法构建晷长数据，它出现在《太初历》之后，后汉《四分历》之前，可能是中国天文学史上等差数列晷影数据的最后一个版本，反映了当时一定的科学认知水平。纬书中保存下来的历法材料，弥补了正史记载的不足。

隋唐时期中国古代历法发展到一个新的高峰。唐僧一行主持编撰《大衍历》，在天文仪器制造、天文观测和大地测量、历法体系的构建、对日月五星运动的认识和计算、黄赤道度变换等方面，都大大超越前人，对后世产生了深远影响。僧一行提出了“凡阴阳往来，皆驯积而变”的思想，翻译成现代科学语言就是，“凡是周期运动，都是连续变化的”；反过来说就是没有停顿、间断、跳跃式或突然加速的变化。一行首先认识到日月五星的视运动是“渐损”“渐益”的连续变化过程，由“渐损”到“渐益”或者由“渐益”到“渐损”中间会出现极小值和极大值，天文计算的实质就是求连续变化的位置和极值问题。为此僧一行构建了日躔表（太阳位置插值表），包括定朔计算（朓朒积）和定气计算（先后数）差分表。日躔表基于实测和平滑处理得到一些确定时间节点上的太阳位置数值，列为数表；再在这些节点值之间进行内插计算，求取任意时间的位置数据。我们对其日躔表的数值进行分析，发现都是四次差分相等、五次差分为零的数表。这类插值表的物理意义是，一次差相等反映“匀速运动”，二次差相等反映“匀加（减）速运动”（如刘焯《皇极历》），三次差相等反映加（减）速度呈等差数列变化的“变速运动”（如郭守敬《授时历》），四次差相等反映加（减）速度呈二阶等差级数变化的“复杂的变速运动”（如一行《大衍历》）。显然一行插值表的物理本质，就是把太阳运动看作是连续变化的“复杂的变速运动”。

现代数学一般采用高次函数对高次差分表进行内插计算，但僧一行所处的时代尚未发明高次函数，只能采用将函数降次的办法，用低次插值函数来解决高次差分表的近似计算问题。僧一行发明了巧妙的计算方法，即调整插值距离为不等间距型，将插值函数降次为二次函数进行内插计算。通过这种途径，一行把复杂问题简单化，从而用二次函数来进行四次差分表的内插计算。其结果是，在极值分段的区间内，插值节点本应落在四次曲线上，而在插值区间内的内插函数值却落在二次曲线上。因此一行的“不等间距二次内插法”，在数学上就是要在分段区间内，用抛物函数逼近高次函数。

对于天体运动的“渐损”“渐益”变速运动，一行采用不等距内插法进行计算；类似地对于黄赤道差、黄白道差等球面变换问题，一行采取“累裁”或“累积”算法。前者以表格算法为主，后者以公式算法为主，实质都是要解决“连续变化”过程中的位置计算及其极值问题。理论上，如果要进一步改进和提高计算精度，僧一行的数值逼近方法必然导致迭代算法的发明，而迭代法是近现代数值计算的主要工具之一。可惜由于编撰《大衍历》一行积劳成疾、英年早逝，他独创的逼近算法并没有得到很好的传承和发展，后来的天文学家如元代王恂、郭守敬等，纷纷吸纳数学家发明的高次函数法、“招差术”等来解决历法中的计算问题，走上了另外的发展道路。我们的研究结果得到学术界的认同，中国科学技术协会、中国科学技术史学会编《科学技术史学科发展报告·天文学史研究进展》（2009—2010）称：“僧一行的《大衍历》一直是历法史研究中的重点，《大衍历》的日躔表前人也多有研究，武家璧的《〈大衍历〉日躔表的数学结构及其内插法》一文再次在这个问题上向前推进了一步。”

晚唐天算家边冈制订《崇玄历》，总结和创造出一系列二次和高次函数计算法，取代传统的数值表格加内插法的经验数学模式，完成了我国古代历法中数学方法的一次重大变革。其简捷算法“相减相乘”法（二次函数）的总结提出，影响尤巨。以往认为“相减相乘”法源自中唐曹士蒍《符天历》中的日躔差公式，我们的研究证明它实际上是由僧一行《大衍历》中的黄赤道差计算公式推广而来。其法对历法中极值问题的计算，类似于“等周问题”中的简单命题“等周长矩形的面积以正方形最大”。这样得到的太阳位置就是时间的二次函数。其运动轨迹就是以极大值和极小值为顶点的两条抛物线，互相扣合，在损益值为零的位置连接起来，逼近于天体运动的椭圆轨道。这一方法使得任意时间的天体位置可以通过简单公式计算出来，从而使大量的天文表格没有必要存在，大大简化了天文计算。过去认为边冈简捷算法可能源自《符天历》，而《符天历》明显受到从印度传入的《九执历》的影响，我们依据史书记载论证边冈算法直接来源于僧一行的《大衍历》，从而证明“相减相乘”法是中国学者的独创，处于当时世界的领先水平。